この論文は、二次元の「射影接続（projective connection）」に対応する自律型の非線形振動子の族を調べています。研究者は、その中から同時に可積分と可計量（ある計量の測地線＝直線でもあるような場合）となるいくつかのクラスを構成しました。結果として、任意関数でパラメータ付けされる二次元の（超）可積分計量の族が得られます。超可積分の場合には、媒介変数のない測地線の明示式も示されます。

研究手法としては、自律な三次の振動子方程式 y'' + k(y) y'^3 + h(y) y'^2 + f(y) y' + g(y) = 0（ここで ' は x による微分、g(y) ≠ 0 を仮定）を出発点にしています。この方程式は座標投影された測地線方程式の特別な形です。方程式がある計量から来るかどうか（＝可計量性）は、リウヴィル型の線形な過決定系 ψ1,ψ2,ψ3 を満たし、その判別式 Δ がゼロでないことに帰着します。さらに、非局所変換（非局所的な座標や積分を使う変換）を用いて方程式を線形化する手法を使いました。非局所変換は方程式の形と可積分性は保ちますが、可計量性やリー対称性は一般に保たない点に注意しています。

主な結果は三つの線形化条件ごとに分かれます。第一の条件からは線形な第一積分と超越的（トランセンデンタル）な第一積分を持つ超可積分計量の族が得られます。これらについて射影リー代数（点対称の代数）の分類も与え、既知の可計量方程式が sl(2,R) や sl(3,R) と呼ばれる特定のリー代数に対応することを示しています。このことは、それらの計量がダルブー（Darboux）超可積分（一次元に対して四つの二次多項式的第一積分を持つ）か、あるいは平坦（一定曲率）であることを意味します。第二および第三の条件からは、一般に超越的な第一積分を持つ新しい可積分な共形計量の族を二つ得ています。さらに、超可積分の場合には媒介なしの測地線が明示的に与えられます。

概念的な貢献としては、研究者は「一般化ダルブー可積分性」という考えを導入しました。従来のダルブー理論では第一積分は位相変数全体に対して多項式的であることが求められますが、ここでは位相空間の一部分に対してのみ多項式でよいとする拡張を許します。また、相対キリングベクトル（運動量に関する多項式で、ハミルトン関数とのポアソン括弧が線形因子で乗じられる性質を持つもの）と、第一導関数に線形に依存する射影ベクトル場の不変量との間に直接的な対応を示しました。興味深いことに、特定のパラメータ値では超越的な第一積分が任意次数の有理積分に還元する場合もあると述べています。さらに、得られた計量について射影リー代数の次元を計算し、一般的には一次元であることも示しています。

重要な注意点や限界も論文内に記されています。本研究は自律（x に依存しない）な場合に注目しており、一般的な射影方程式すべての可計量性条件がここで完全に解かれているわけではありません。一般形の可計量条件は扱いが煩雑であり、本論文では明示的な第一積分が得られる特別な場合に焦点を当てています。また、多くの第一積分は超越的な形をとり、代数的に単純ではありません。非局所変換は形と可積分性を保つ一方で、可計量性や対称性の性質は変えるため、変換の適用には注意が必要です。なお、ここに要約した内容は論文の抜粋に基づいています。詳細な証明や追加の計算は本文で扱われています。