この論文は、S&P500（SPX）とその波動率指数（VIX）のオプション価格を、複数の満期にわたって同時に合わせる新しい「グローバル」な方法を示します。従来よく使われる方法は、各月ごとの小さな問題を独立に解いてそのつなぎ目を「マルコフ的につなぐ（現在のSPXの値だけで次を決める）」という仮定を置きます。著者らは、この仮定が目に見える月次の価格には影響しない一方で、過去の履歴に依存する重要な情報を消してしまうことを示しました。つまり、月ごとの条件を同じにしても、複数期間にまたがる金融商品の価格は変わり得るのです。

研究者たちはまず理論的に整理しました。局所的に各月の条件を満たす確率法則が存在することと、全期間を通して一つの整合した法則が存在することは等価だと示します。さらに、任意の「グローバルに整合する」法則から、各月の分布を保ったままブロックごとにマルコフ化（現在のSPXだけに依存する形に変換）することが可能だと証明しました。しかしそのマルコフ化は、月ごとの分布や笑い線（オプションの暗黙のボラティリティ曲線）を変えない一方で、期間をまたぐ依存関係を失います。標準的な基準（相対エントロピー、すなわち最小情報仮定）を使うと、そのマルコフ化された「つぎはぎ」法則が自動的に選ばれます。非マルコフの記憶を採りたい場合は、期間を越えた情報、別の目的関数、あるいは履歴依存の事前分布が必要になると論文は指摘します。

数値的な面では、連続的な理論を離れて有限の離散化で扱う方法も提示しています。著者らは「拡張ブレグマン・ミラー降下法（augmented-Bregman mirror-descent）」という反復的アルゴリズムを導入しました。これは市場で観測されるオプションの価格に合うように調整を続けながら、マルチ期間の期待値条件（マルチンゲール条件：次のSPXの期待値が現在と一致すること）や散らばり条件（VIXに関連するログ契約の条件）からのずれを同時に抑える仕組みです。専門用語で言えば、可観測な見積もりモーメントへの適合を保ちつつ、条件付きの残差をペナルティで制御します。

実験的な結果も示されています。独立に解くと整合しないような制約を持つ制御下の線形系（infeasible affine system）で、この手法は従来の巡回行列射影法に比べて与えられた周辺分布を約25倍厳密に保てました。また、有限状態の厳密な例はブロック保存性（各月の分布を保つこと）を検証し、マルコフ化後に「期間を越えた」価格が実質的に変化することを示しました。実際の（平滑化された）SPXとVIXの笑い線に対する数値計算では、限られた計算予算でのペナルティの調整により、最悪の笑い線フィット誤差が報告範囲で0.70ボラティリティ・ポイント以下に保たれつつ、多くの条件付き診断値が大幅に改善することが示されています。

重要な注意点も明確です。満期が増えると問題の次元は急速に増え、完全に結合した多満期の処理は計算負荷が高くなります。また、月ごとのオプション市場データだけでは、期間をまたぐ依存性を検出することはできません。したがって、非マルコフ的な記憶をモデルに組み込むには、追加の期間横断的情報や目的関数、あるいは履歴依存の事前仮定が必要です。さらに、満期のずれ（VIXだけの期日に対応するSPXの取引マージンがない場合）にも対応するため、著者らは自由なSPXノードを導入する合併タイムラインの拡張も提示していますが、実務では計算コストと識別の問題が残ります。